Ecuaciones diferenciales de variables separables

Ecuaciones diferenciales de variables separables ejemplos resueltos en 3 pasos.

En esta ocasión se desarrolarán 6 ejemplos de ecuaciones diferenciables de variables separables, partiendo del caso base donde la ecuación se presenta en su forma estándar.

1.- La ecuación diferencial se escribe en la FORMA ESTÁNDAR propia de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

dydx=f(x,y)$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$

Ejemplo:

dydx=3x2+4x+22(y−1)$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2(y-1)}$

Donde:

f(x,y)=3x2+4x+22(y−1)$f(x,y)=\frac{3x^2+4x+2}{2(y-1)}$

2.- SEPARAMOS LAS VARIABLES de acuerdo al criterio.

Mdx=Ndy$Mdx=Ndy$

Donde:

M=f(x)$M=f(x)$ y N=f(y)$N=f(y)$

La mnemotecnia utilizada para este paso es: Pájaros de un mismo plumaje vuelan juntos

3.- Por último, INTEGRAMOS ambos miembros de la ecuación mediante las fórmulas y técnicas conocidas de Cálculo integral

Pasos de mayor importancia para resolver Ecuaciones Diferenciales separables de primer orden

Ejemplo 1:

I. dydx=3x2+4x+22(y−1)$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2(y-1)}$

Pasos:

1.-  dydx=3x2+4x+22(y−1)$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2(y-1)}$

2.- 2(y−1)dy=(3x2+4x+2)dx$2(y-1)dy=(3x^2+4x+2)dx$

⇒2ydy−2dy=3x2dx+4xdx+2dx$\Rightarrow 2ydy-2dy=3x^{2}dx+4xdx+2dx$

3.-  ⇒2∫ydy–2∫dy=3∫x2dx+4∫xdx+2∫dx+C$\Rightarrow 2\int ydy–2\int dy=3\int x^{2}dx+4\int xdx+2\int dx+C$

⇒22y2−2y=33x3+42x2+2x+C$\Rightarrow \frac{2}{2}{y}^2-2y=\frac{3}{3}{x}^3+\frac{4}{2}{x}^2+2x+C$

Resultado:

⇒y2−2y=x3+2x2+2x+C$\Rightarrow y^2-2y=x^3+2x^2+2x+C$

IMPORTANTE, en esta ocasión los resultados se represantarán implícitamente; es decir, no se despejará la variable dependiente, lo cual en realidad es un problema de álgebra

Ejemplo 2:

II. dydx=ycosx1+2y2$\frac{dy}{dx}=\frac{y\cos x}{1+2y^2}$

Pasos:

1.-  dydx=ycosx1+2y2$\frac{dy}{dx}=\frac{y\cos x}{1+2y^2}$

2.-  (1+2y2)dy=ycosxdx$(1+2y^2)dy=y\cos xdx$

⇒(1+2y2)dyy=cosxdx$\Rightarrow \frac{(1+2y^2)dy}{y}=\cos xdx$

⇒1ydy+2ydy=cosxdx$\Rightarrow \frac{1}{y}dy+2ydy=\cos xdx$

3.-  ∫dyy+2∫ydy=cosxdx+C$\int \frac{dy}{y}+2\int ydy=\cos xdx+C$

⇒lny+22y2=sinx+C$\Rightarrow \ln y+\frac{2}{2}{y}^2=\sin x+C$

Resultado:

⇒lny+y2=sinx+C$\Rightarrow \ln y+y^2=\sin x+C$

Ejemplo 3:

III. dydx=x21−y2$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{1-y^2}$

Pasos:

1.-  dydx=x21−y2$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{1-y^2}$

2.-  (1−y2)dy=x2dx$(1-y^2)dy=x^{2}dx$

⇒dy−y2dy=x2dx$\Rightarrow dy-y^{2}dy=x^{2}dx$

3.-  ∫dy−∫y2dy=∫x2dx+C$\int dy-\int y^{2}dy=\int x^{2}dx+C$

Resultado:

y−13y3=13x3+C$y-\frac{1}{3}{y}^3=\frac{1}{3}{x}^3+C$

Ejemplo 4:

IV. xdydx=4y$x\frac{dy}{dx}=4y$

Pasos:

1.-  xdydx=4y$x\frac{dy}{dx}=4y$

2.-  xdy=4ydx$xdy=4ydx$

14dyy=dxx$\frac{1}{4}\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$

3.- 14∫dyy=∫dxx+C$\frac{1}{4}\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}+C$

⇒14lny=lnx+C$\Rightarrow \frac{1}{4}\ln y=\ln x+C$

⇒lny1/4=lnx+C$\Rightarrow \ln y^{1/4}=\ln x+C$

⇒elny1/4=elnx+C$\Rightarrow e^{\ln y^{1/4}}=e^{\ln x+C}$

⇒y1/4=elnxeC$\Rightarrow y^{1/4}=e^{\ln x}{e}^C$

Resultado:

y1/4=C1x$y^{1/4}=C_{1}x$

Se puede simplificar con álgebra quedando:

⇒(y1/4)4=(C1x)4$\Rightarrow {\left(y^{1/4}\right)}^4={\left(C_{1}x\right)}^4$

⇒y=C2x4$\Rightarrow y=C_2{x}^4$

Ejemplo 5:

V. dydx=ysinx$\frac{dy}{dx}=y\sin x$

Pasos:

1.- dydx=ysinx$\frac{dy}{dx}=y\sin x$

2.- dyy=sinxdx$\frac{dy}{y}=\sin xdx$

3.- ∫dyy=∫sinxdx+C$\int \frac{dy}{y}=\int \sin xdx+C$

⇒lny=−cosx+C$\Rightarrow \ln y=-\cos x+C$

⇒elny=e−cosx+C$\Rightarrow e^{\ln y}=e^{-\cos x+C}$

y=e−cosx+C$y=e^{-\cos x+C}$

y=e−cosxeC$y=e^{-\cos x}{e}^C$

Resultado:

y=C1e−cosx$y=C_1{e}^{-\cos x}$

Gráfica de la familia de soluciones y dos soluciones particulares del ejercicio 5